MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceMatematică financiară
O persoană depune la bancă o sumă inițială de 1000 de lei cu dobândă compusă anuală de 10%. În plus, la sfârșitul fiecărui an, adaugă încă 500 de lei. Fie (An)n≥0(A_n)_{n \geq 0} suma din cont după nn ani, cu A0=1000A_0 = 1000. Găsiți formula de recurență pentru AnA_n, apoi formula explicită, și determinați după câți ani suma depășește 5000 de lei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Relația de recurență este An+1=1.1An+500A_{n+1} = 1.1 A_n + 500 pentru n≥0n \geq 0, cu A0=1000A_0 = 1000.
24 puncte
Rezolvând recurența, obținem formula explicită: An=1.1n⋅1000+500⋅1.1n−10.1=1.1n⋅1000+5000(1.1n−1)=6000⋅1.1n−5000A_n = 1.1^n \cdot 1000 + 500 \cdot \frac{1.1^n - 1}{0.1} = 1.1^n \cdot 1000 + 5000 (1.1^n - 1) = 6000 \cdot 1.1^n - 5000.
33 puncte
Rezolvăm inecuația An>5000A_n > 5000: 6000⋅1.1n−5000>5000⇒6000⋅1.1n>10000⇒1.1n>53⇒n>ln⁡(5/3)ln⁡1.1≈5.366000 \cdot 1.1^n - 5000 > 5000 \Rightarrow 6000 \cdot 1.1^n > 10000 \Rightarrow 1.1^n > \frac{5}{3} \Rightarrow n > \frac{\ln(5/3)}{\ln 1.1} \approx 5.36, deci după 6 ani suma depășește 5000 de lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.