MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1=2, a2=5a_2=5 și an+2=5an+1−6ana_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n pentru orice n≥1n \geq 1. Determinați termenul general ana_n și calculați suma primilor 10 termeni ai șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie ecuația caracteristică asociată recurenței: r2−5r+6=0r^2 - 5r + 6 = 0, cu rădăcinile r1=2r_1=2 și r2=3r_2=3. Termenul general are forma an=C1⋅2n+C2⋅3na_n = C_1 \cdot 2^n + C_2 \cdot 3^n.
24 puncte
Se determină constantele C1C_1 și C2C_2 din condițiile inițiale: a1=2a_1=2 și a2=5a_2=5. Se obține sistemul: 2C1+3C2=22C_1 + 3C_2 = 2 și 4C1+9C2=54C_1 + 9C_2 = 5. Rezolvând, se găsește C1=12C_1 = \frac{1}{2} și C2=13C_2 = \frac{1}{3}. Astfel, an=12⋅2n+13⋅3n=2n−1+3n−1a_n = \frac{1}{2} \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot 3^n = 2^{n-1} + 3^{n-1}.
33 puncte
Suma primilor 10 termeni: S10=∑n=110(2n−1+3n−1)=∑n=092n+∑n=093n=210−12−1+310−13−1=1023+59049−12=1023+29524=30547S_{10} = \sum_{n=1}^{10} (2^{n-1} + 3^{n-1}) = \sum_{n=0}^{9} 2^n + \sum_{n=0}^{9} 3^n = \frac{2^{10}-1}{2-1} + \frac{3^{10}-1}{3-1} = 1023 + \frac{59049-1}{2} = 1023 + 29524 = 30547.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.