MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeFuncția de gradul al II-leaIdentități algebrice
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=3a_1 = 3 și an+1=2an2−5an+4a_{n+1} = 2a_n^2 - 5a_n + 4 pentru orice n≥1n \geq 1. a) Arătați că șirul este crescător. b) Determinați limita șirului, presupunând că aceasta există. c) Verificați că limita găsită satisface ecuația 2x2−5x+4=x2x^2 - 5x + 4 = x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm an+1−an=2an2−5an+4−an=2an2−6an+4=2(an−1)(an−2)a_{n+1} - a_n = 2a_n^2 - 5a_n + 4 - a_n = 2a_n^2 - 6a_n + 4 = 2(a_n - 1)(a_n - 2). Prin inducție, se arată că an>2a_n > 2 pentru orice nn (deoarece a1=3>2a_1 = 3 > 2 și dacă an>2a_n > 2, atunci an+1>2a_{n+1} > 2), deci an+1−an>0a_{n+1} - a_n > 0, iar șirul este crescător.
24 puncte
Presupunem că limita LL există și este finită. Din recurență, la limită avem L=2L2−5L+4L = 2L^2 - 5L + 4, adică 2L2−6L+4=02L^2 - 6L + 4 = 0. Simplificăm la L2−3L+2=0L^2 - 3L + 2 = 0, cu soluțiile L1=1L_1 = 1 și L2=2L_2 = 2.
32 puncte
Deoarece șirul este crescător și a1=3>2a_1 = 3 > 2, limita nu poate fi L1=1L_1 = 1; astfel, L=2L = 2. Verificăm că 2=2⋅22−5⋅2+42 = 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.