MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăStudiul funcțiilor
Se consideră șirul de numere reale (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = \sqrt{2} și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și determinați limita sa. Demonstrați prin inducție matematică că an<2a_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrați prin inducție matematică că an<2a_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1. Pentru n=1n=1, a1=2<2a_1 = \sqrt{2} < 2. Presupunem an<2a_n < 2, atunci an+1=2+an<2+2=2a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{2+2} = 2, deci afirmația este adevărată pentru toți nn.
23 puncte
Arătați că șirul este monoton crescător: an+1≥ana_{n+1} \geq a_n pentru orice nn. Din an+12=2+ana_{n+1}^2 = 2 + a_n și an2≤2+an−1a_n^2 \leq 2 + a_{n-1} (din ipoteza), se deduce prin inducție că an+1≥ana_{n+1} \geq a_n.
32 puncte
Concluzi că șirul este mărginit superior de 2 și monoton crescător, deci convergent conform teoremei lui Weierstrass.
42 puncte
Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Din relația de recurență, L=2+LL = \sqrt{2 + L}, deci L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0. Rezolvând, L=2L = 2 sau L=−1L = -1, dar an≥0a_n \geq 0, deci L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.