MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeEcuații iraționale
Se consideră șirul de numere reale (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=0a_1 = 0 și relația de recurență an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este crescător și mărginit, determinați limita sa și calculați a5a_5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrați prin inducție că an<2a_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1. Inițial, a1=0<2a_1 = 0 < 2. Presupunem ak<2a_k < 2, atunci ak+1=2+ak<2+2=2a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{2 + 2} = 2, deci inducția este adevărată.
23 puncte
Arătați că șirul este crescător, adică an+1≥ana_{n+1} \geq a_n pentru orice n≥1n \geq 1. Comparați an+12−an2=(2+an)−an2=−(an2−an−2)a_{n+1}^2 - a_n^2 = (2 + a_n) - a_n^2 = -(a_n^2 - a_n - 2). Rezolvând inecuația an+1≥ana_{n+1} \geq a_n, se obține că este adevărată pentru an∈[0,2]a_n \in [0,2], ceea ce a fost dovedit la pasul 1.
32 puncte
Determinați limita LL rezolvând ecuația L=2+LL = \sqrt{2 + L}. Aceasta se reduce la L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=−1L = -1 și L=2L = 2. Deoarece șirul este pozitiv și mărginit, limita este L=2L = 2.
42 puncte
Calculați a5a_5 folosind recurența: a1=0a_1 = 0, a2=2≈1.414a_2 = \sqrt{2} \approx 1.414, a3=2+2≈1.848a_3 = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 1.848, a4=2+2+2≈1.962a_4 = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \approx 1.962, a5=2+2+2+2≈1.990a_5 = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} \approx 1.990. Se poate da răspunsul exact sau aproximativ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.