MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Fie șirul de numere reale (cn)n≥1(c_n)_{n \geq 1} definit prin cn=∫01xnex dxc_n = \int_0^1 x^n e^x \, dx. Arătați că șirul (cn)(c_n) este descrescător și calculați lim⁡n→∞cn\lim_{n \to \infty} c_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a studia monotonia, calculăm diferența cn+1−cn=∫01xn+1ex dx−∫01xnex dx=∫01xn(x−1)ex dxc_{n+1} - c_n = \int_0^1 x^{n+1} e^x \, dx - \int_0^1 x^n e^x \, dx = \int_0^1 x^n (x - 1) e^x \, dx. Pe intervalul [0,1][0,1], avem xn≥0x^n \geq 0, x−1≤0x - 1 \leq 0 și ex>0e^x > 0, deci integrandul xn(x−1)ex≤0x^n (x-1) e^x \leq 0. Astfel, cn+1−cn≤0c_{n+1} - c_n \leq 0, ceea ce implică că șirul este descrescător.
24 puncte
Pentru a calcula limita, observăm că 0≤cn=∫01xnex dx≤∫01xne dx=e∫01xn dx=e⋅1n+10 \leq c_n = \int_0^1 x^n e^x \, dx \leq \int_0^1 x^n e \, dx = e \int_0^1 x^n \, dx = e \cdot \frac{1}{n+1}. Deoarece lim⁡n→∞en+1=0\lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1} = 0, aplicând teorema cleștelui, obținem lim⁡n→∞cn=0\lim_{n \to \infty} c_n = 0.
32 puncte
Concluzionăm că șirul (cn)(c_n) este descrescător și convergent la 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.