MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie x1x_1 un număr real pozitiv și șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin xn+1=2xn+3x_{n+1} = \sqrt{2x_n + 3}, pentru n≥1n \ge 1. a) Demonstrați prin inducție matematică că dacă x1>3x_1 > 3, atunci xn>3x_n > 3 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. b) Determinați x1x_1 astfel încât șirul să fie constant. c) Studiați monotonia șirului în funcție de x1x_1 și, dacă este cazul, calculați limita.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Demonstrația prin inducție: Pentru n=1n=1, x1>3x_1 > 3, adevărat. Presupunem xn>3x_n > 3, atunci xn+1=2xn+3>2⋅3+3=9=3x_{n+1} = \sqrt{2x_n + 3} > \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{9} = 3, deci xn+1>3x_{n+1} > 3.
23 puncte
Determinarea lui x1x_1 pentru șir constant: Dacă șirul e constant, xn+1=xn=Lx_{n+1} = x_n = L, atunci L=2L+3L = \sqrt{2L + 3}. Rezolvăm: L2=2L+3⇒L2−2L−3=0⇒L=3L^2 = 2L + 3 \Rightarrow L^2 - 2L - 3 = 0 \Rightarrow L = 3 sau L=−1L = -1. Cum xn>0x_n > 0, L=3L = 3. Deci x1=3x_1 = 3 dă șir constant.
34 puncte
Studiul monotoniei și limitei: Considerăm funcția f(x)=2x+3f(x) = \sqrt{2x + 3}, cu x≥−1.5x \ge -1.5. Derivata: f′(x)=12x+3>0f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} > 0, deci ff este crescătoare. Șirul este monoton dacă x2≥x1x_2 \ge x_1 sau x2≤x1x_2 \le x_1. Rezolvăm x2≥x1⇒2x1+3≥x1⇒2x1+3≥x12⇒x12−2x1−3≤0⇒(x1−3)(x1+1)≤0⇒x1∈[−1,3]x_2 \ge x_1 \Rightarrow \sqrt{2x_1 + 3} \ge x_1 \Rightarrow 2x_1 + 3 \ge x_1^2 \Rightarrow x_1^2 - 2x_1 - 3 \le 0 \Rightarrow (x_1 - 3)(x_1 + 1) \le 0 \Rightarrow x_1 \in [-1, 3]. Dar x1>0x_1 > 0, deci pentru x1∈(0,3]x_1 \in (0, 3], șirul este crescător; pentru x1>3x_1 > 3, x2<x1x_2 < x_1, deci șirul este descrescător. Limita LL satisface L=2L+3L = \sqrt{2L + 3}, deci L=3L = 3 (sau L=−1L = -1 exclus). Dacă x1∈(0,3]x_1 \in (0, 3], șirul crescător și mărginit de 3, deci converge la 3; dacă x1>3x_1 > 3, șirul descrescător și mărginit inferior de 3, deci converge la 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.