MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Într-o urnă se află nn bile, dintre care kk sunt roșii și restul sunt albastre. Se extrag două bile la întâmplare, fără revenire. Știind că probabilitatea ca ambele bile extrase să fie roșii este 16\frac{1}{6}, iar probabilitatea ca prima bilă extrasă să fie roșie și a doua albastră este 13\frac{1}{3}, determinați valorile posibile pentru nn și kk.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimarea probabilităților: P(ambele roșii)=Ck2Cn2=k(k−1)n(n−1)P(\text{ambele roșii}) = \frac{C_k^2}{C_n^2} = \frac{k(k-1)}{n(n-1)} și P(prima roșie, a doua albastra˘)=kn⋅n−kn−1P(\text{prima roșie, a doua albastră}) = \frac{k}{n} \cdot \frac{n-k}{n-1}.
22 puncte
Stabilirea ecuațiilor: k(k−1)n(n−1)=16\frac{k(k-1)}{n(n-1)} = \frac{1}{6} și k(n−k)n(n−1)=13\frac{k(n-k)}{n(n-1)} = \frac{1}{3}.
34 puncte
Simplificare și rezolvare: din prima ecuație, 6k(k−1)=n(n−1)6k(k-1) = n(n-1); din a doua, 3k(n−k)=n(n−1)3k(n-k) = n(n-1). Egalând, 6k(k−1)=3k(n−k)6k(k-1) = 3k(n-k), iar pentru k≠0k \neq 0, obținem 2(k−1)=n−k2(k-1) = n-k, deci n=3k−2n = 3k - 2. Înlocuind în 6k(k−1)=n(n−1)6k(k-1) = n(n-1), avem 6k(k−1)=(3k−2)(3k−3)6k(k-1) = (3k-2)(3k-3), ceea ce conduce la 3k2−9k+6=03k^2 - 9k + 6 = 0, adică k2−3k+2=0k^2 - 3k + 2 = 0, cu soluțiile k=1k=1 sau k=2k=2. Pentru k=1k=1, n=1n=1 (invalid, deoarece nu se pot extrage două bile). Pentru k=2k=2, n=4n=4.
42 puncte
Verificare: pentru n=4n=4, k=2k=2, P(ambele roșii)=2⋅14⋅3=16P(\text{ambele roșii}) = \frac{2 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{1}{6} și P(prima roșie, a doua albastra˘)=24⋅23=13P(\text{prima roșie, a doua albastră}) = \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}. Soluția este n=4n=4, k=2k=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.