MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatoricăTeoria Mulțimilor
Într-o urnă sunt 10 bile numerotate de la 1 la 10. Se extrag 3 bile fără întoarcere. Calculați probabilitatea ca suma numerelor extrase să fie mai mare decât 15, știind că cel puțin una dintre bile este numărul 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definirea evenimentelor. Fie A evenimentul că suma numerelor extrase este mai mare decât 15, iar B evenimentul că cel puțin una dintre bile este numărul 5. Se cere P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.
23 puncte
Calculul lui P(B)P(B). Numărul total de cazuri posibile la extragerea a 3 bile din 10 este C103=120C_{10}^3 = 120. Evenimentul contrar lui B este că niciuna dintre bile nu este 5, adică se extrag 3 bile din cele 9 rămase (fără 5), deci P(Bˉ)=C93120=84120=710P(\bar{B}) = \frac{C_9^3}{120} = \frac{84}{120} = \frac{7}{10}. Astfel, P(B)=1−710=310P(B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}.
33 puncte
Calculul lui P(A∩B)P(A \cap B). Trebuie să numărăm cazurile în care suma este >15 și cel puțin o bilă este 5. Se consideră cazurile cu exact o bilă 5, exact două bile 5, și exact trei bile 5. Dar numai o bilă poate fi 5, deoarece bilele sunt distincte. Dacă una este 5, celelalte două trebuie să aibă suma >10. Listăm perechile de numere distincte de la 1 la 10, diferite de 5, cu suma >10: (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10) – 10 perechi. Fiecare pereche cu 5 dă o combinație, deci 10 cazuri. Numărul total de cazuri pentru A∩BA \cap B este 10. Astfel, P(A∩B)=10120=112P(A \cap B) = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}.
42 puncte
Aplicarea formulei probabilității condiționate. P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=112310=112⋅103=1036=518P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{3}{10}} = \frac{1}{12} \cdot \frac{10}{3} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.