MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+3na_{n+1} = 2a_n + 3^n pentru n≥1n \geq 1. Determinați formula termenului general ana_n și calculați suma Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți recurența omogenă asociată an+1=2ana_{n+1} = 2a_n și rezolvați-o, obținând anh=C⋅2na_n^h = C \cdot 2^n.
24 puncte
Găsiți o soluție particulară de forma anp=A⋅3na_n^p = A \cdot 3^n; înlocuiți în recurența inițială: A⋅3n+1=2A⋅3n+3nA \cdot 3^{n+1} = 2A \cdot 3^n + 3^n, de unde 3A=2A+13A = 2A + 1, deci A=1A=1 și anp=3na_n^p = 3^n.
33 puncte
Combinați soluțiile: an=C⋅2n+3na_n = C \cdot 2^n + 3^n. Folosind a1=1a_1=1, obținem 1=2C+31 = 2C + 3, deci C=−1C = -1, așadar an=3n−2na_n = 3^n - 2^n. Calculați suma Sn=∑i=1n(3i−2i)=3n+1−32−(2n+1−2)=3n+1−2n+2+12S_n = \sum_{i=1}^n (3^i - 2^i) = \frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^{n+1} - 2) = \frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.