MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=2x_1 = 2 și xn+1=3xn+2nx_{n+1} = 3x_n + 2^n pentru orice n≥1n \geq 1. Determinați formula explicită pentru xnx_n și studiați convergența șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Găsiți formula termenului general. Ecuația recurentă este liniară neomogenă. Soluția omogenă este xn(h)=A⋅3n−1x_n^{(h)} = A \cdot 3^{n-1}. Căutați o soluție particulară de forma xn(p)=B⋅2n−1x_n^{(p)} = B \cdot 2^{n-1}. Substituind, obțineți B(2n)=3B(2n−1)+2nB(2^n) = 3B(2^{n-1}) + 2^n, de unde B=−2B = -2, deci xn(p)=−2⋅2n−1x_n^{(p)} = -2 \cdot 2^{n-1}. Soluția generală este xn=A⋅3n−1−2nx_n = A \cdot 3^{n-1} - 2^n. Din condiția x1=2x_1 = 2, rezultă A=4A = 4, așadar xn=4⋅3n−1−2nx_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2^n.
23 puncte
Analizați convergența: pentru n→∞n \to \infty, termenul 4⋅3n−14 \cdot 3^{n-1} domină, deoarece 3n−13^{n-1} crește mai rapid decât 2n2^n, deci lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty.
32 puncte
Concluzionați că șirul (xn)(x_n) nu este convergent, limita sa este +∞+\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.