MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Să se determine o primitivă FF a lui ff care verifică F(0)=1F(0) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm integrarea prin părți pentru a găsi o primitivă generală. Alegem u=sin⁡xu = \sin x, dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, deci du=cos⁡xdxdu = \cos x dx, v=12e2xv = \frac{1}{2} e^{2x}, și obținem ∫e2xsin⁡xdx=12e2xsin⁡x−12∫e2xcos⁡xdx\int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x dx. Aplicăm din nou integrarea prin părți pentru a doua integrală.
24 puncte
După calcule, găsim primitiva generală F(x)=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+CF(x) = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + C. Folosim condiția F(0)=1F(0) = 1: 1=e05(2⋅0−1)+C=−15+C1 = \frac{e^{0}}{5} (2 \cdot 0 - 1) + C = -\frac{1}{5} + C, deci C=65C = \frac{6}{5}.
33 puncte
Scriem primitiva specifică: F(x)=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+65F(x) = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + \frac{6}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.