MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Se consideră funcția f(x)=exsin⁡xf(x) = e^{x} \sin x. Să se determine o primitivă a lui ff și să se studieze monotonia funcției FF definită prin F(x)=∫0xf(t)dtF(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Aplicarea integrării prin părți de două ori pentru a găsi o primitivă a lui f(x)f(x); se obține F1(x)=ex(sin⁡x−cos⁡x)2+CF_1(x) = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + C, verificând că F1′(x)=f(x)F_1'(x) = f(x).
25 puncte
Studiul monotoniei lui F(x)F(x): se calculează F′(x)=f(x)=exsin⁡xF'(x) = f(x) = e^{x} \sin x; analiza semnului lui f(x)f(x): f(x)>0f(x) > 0 pentru x∈(2kπ,2kπ+π)x \in (2k\pi, 2k\pi + \pi) și f(x)<0f(x) < 0 pentru x∈(2kπ+π,2kπ+2π)x \in (2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi), cu k∈Zk \in \mathbb{Z}; astfel, FF este crescătoare pe intervalele unde f(x)>0f(x) > 0 și descrescătoare pe cele unde f(x)<0f(x) < 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.