MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrie
Să se găsească o primitivă a funcției g:(0,π2)→Rg: (0, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R}, g(x)=1sin⁡xcos⁡xg(x) = \frac{1}{\sin x \cos x}, și să se evalueze ∫π/4π/3g(x)dx\int_{\pi/4}^{\pi/3} g(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Se observă că 1sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2x\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}. Folosind substituția t=2xt = 2x, cu dt=2dxdt = 2 dx, deci dx=dt2dx = \frac{dt}{2}. Atunci ∫1sin⁡xcos⁡xdx=∫2sin⁡2xdx=∫csc⁡t⋅dt2=12∫csc⁡tdt=12ln⁡∣tan⁡t2∣+C=ln⁡∣tan⁡x∣+C\int \frac{1}{\sin x \cos x} dx = \int \frac{2}{\sin 2x} dx = \int \csc t \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \csc t dt = \frac{1}{2} \ln |\tan \frac{t}{2}| + C = \ln |\tan x| + C.
24 puncte
∫π/4π/31sin⁡xcos⁡xdx=[ln⁡∣tan⁡x∣]π/4π/3=ln⁡(tan⁡(π3))−ln⁡(tan⁡(π4))=ln⁡(3)−ln⁡(1)=ln⁡(31/2)=12ln⁡3\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{1}{\sin x \cos x} dx = \left[ \ln |\tan x| \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \ln(\tan(\frac{\pi}{3})) - \ln(\tan(\frac{\pi}{4})) = \ln(\sqrt{3}) - \ln(1) = \ln(3^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.