MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine o primitivă a funcției f(x)=2x+3x2+4x+5f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 5} și apoi să se calculeze ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Se rescrie funcția sub forma 2x+3x2+4x+5=A(2x+4)x2+4x+5+Bx2+4x+5\frac{2x+3}{x^2+4x+5} = \frac{A(2x+4)}{x^2+4x+5} + \frac{B}{x^2+4x+5}, se determină A=12A=\frac{1}{2} și B=1B=1, apoi se integrează fiecare termen obținând 12ln⁡∣x2+4x+5∣+arctan⁡(x+2)+C\frac{1}{2} \ln|x^2+4x+5| + \arctan(x+2) + C.\n
26 puncte
Se evaluează primitiva la limitele de integrare: F(x)=12ln⁡(x2+4x+5)+arctan⁡(x+2)F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+5) + \arctan(x+2), se calculează F(1)−F(0)=(12ln⁡10+arctan⁡3)−(12ln⁡5+arctan⁡2)F(1) - F(0) = \left(\frac{1}{2} \ln 10 + \arctan 3\right) - \left(\frac{1}{2} \ln 5 + \arctan 2\right) și se simplifică rezultatul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.