MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Să se determine o primitivă a funcției ff și să se demonstreze că orice primitivă FF a lui ff verifică relația F′′(x)−4F′(x)+5F(x)=0F''(x) - 4F'(x) + 5F(x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Se integrează f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x prin părți de două ori. Notând I=∫e2xsin⁡x dxI = \int e^{2x} \sin x \, dx, se obține I=−15e2x(2sin⁡x−cos⁡x)+CI = -\frac{1}{5}e^{2x}(2\sin x - \cos x) + C, deci o primitivă este F(x)=−15e2x(2sin⁡x−cos⁡x)+CF(x) = -\frac{1}{5}e^{2x}(2\sin x - \cos x) + C.
25 puncte
Se calculează derivatele: F′(x)=e2xsin⁡xF'(x) = e^{2x} \sin x și F′′(x)=2e2xsin⁡x+e2xcos⁡xF''(x) = 2e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x. Se verifică ecuația: F′′(x)−4F′(x)+5F(x)=(2e2xsin⁡x+e2xcos⁡x)−4e2xsin⁡x+5(−15e2x(2sin⁡x−cos⁡x))=0F''(x) - 4F'(x) + 5F(x) = (2e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x) - 4e^{2x} \sin x + 5\left(-\frac{1}{5}e^{2x}(2\sin x - \cos x)\right) = 0, deoarece termenii se anulează.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.