MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volume
Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției g(x)=xe−xg(x) = x e^{-x}, axa OxOx și dreptele x=0x = 0 și x=2x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aria este dată de integrala definită A=∫02xe−x dxA = \int_0^2 x e^{-x} \, dx, deoarece funcția este pozitivă pe intervalul [0,2][0,2].
24 puncte
Se determină o primitivă a funcției xe−xx e^{-x} folosind integrarea prin părți: fie u=xu = x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx, atunci du=dxdu = dx, v=−e−xv = -e^{-x}, deci ∫xe−xdx=−xe−x−∫(−e−x)dx=−xe−x+∫e−xdx=−xe−x−e−x+C\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C.
32 puncte
Se calculează integrala definită: A=[−xe−x−e−x]02=(−2e−2−e−2)−(0−1)=−3e−2+1A = \left[ -x e^{-x} - e^{-x} \right]_0^2 = (-2e^{-2} - e^{-2}) - (0 - 1) = -3e^{-2} + 1.
41 punct
Se exprimă aria în formă simplificată: A=1−3e2A = 1 - \frac{3}{e^2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.