MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1xln⁡xf(x) = \frac{1}{x \ln x}. a) Arătați că ff admite primitive pe intervalele (0,1)(0,1) și (1,∞)(1, \infty). b) Determinați o primitivă FF a lui ff astfel încât F(e)=1F(e) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că funcția ff este continuă pe (0,1)(0,1) și (1,∞)(1, \infty) deoarece numitorul nu se anulează pe aceste intervale (deoarece ln⁡x≠0\ln x \neq 0 pentru x≠1x \neq 1) și funcția logaritm este continuă. Prin urmare, conform teoremei, ff admite primitive pe aceste intervale.
24 puncte
Pentru a găsi o primitivă, facem substituția u=ln⁡xu = \ln x, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx. Atunci ∫1xln⁡xdx=∫1udu=ln⁡∣u∣+C=ln⁡∣ln⁡x∣+C\int \frac{1}{x \ln x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\ln x| + C.
33 puncte
Folosim condiția F(e)=1F(e) = 1. Avem F(x)=ln⁡∣ln⁡x∣+CF(x) = \ln |\ln x| + C. Pentru x=ex=e, ln⁡e=1\ln e = 1, deci F(e)=ln⁡∣1∣+C=0+C=1F(e) = \ln |1| + C = 0 + C = 1, de unde C=1C=1. Astfel, primitiva cerută este F(x)=ln⁡∣ln⁡x∣+1F(x) = \ln |\ln x| + 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.