MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Arătați că există o primitivă FF a lui ff astfel încât F(0)=1F(0) = 1 și determinați FF. Studiați monotonia funcției FF pe intervalul [0,π][0, \pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Găsim primitiva generală prin integrare repetată prin părți: ∫e2xsin⁡x dx=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+C\int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{e^{2x}}{5} (2\sin x - \cos x) + C.
23 puncte
Impunem condiția F(0)=1F(0)=1: 1=e05(2⋅0−1)+C=−15+C1 = \frac{e^{0}}{5} (2\cdot 0 - 1) + C = -\frac{1}{5} + C, deci C=65C = \frac{6}{5}. Obținem F(x)=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+65F(x) = \frac{e^{2x}}{5} (2\sin x - \cos x) + \frac{6}{5}.
33 puncte
Derivata lui FF este F′(x)=f(x)=e2xsin⁡xF'(x) = f(x) = e^{2x} \sin x. Pe [0,π][0, \pi], sin⁡x≥0\sin x \geq 0, deci F′(x)≥0F'(x) \geq 0, iar F′(x)=0F'(x) = 0 doar în x=0x=0 și x=πx=\pi. Astfel, FF este crescătoare pe [0,π][0, \pi].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.