MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrie
Să se determine o primitivă a funcției f:(0,π2)→Rf: (0, \frac{\pi}{2}) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=1sin⁡2xcos⁡2xf(x) = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}, care se anulează în punctul x=π4x = \frac{\pi}{4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se simplifică expresia: 1sin⁡2xcos⁡2x=4sin⁡22x\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{4}{\sin^2 2x}.
24 puncte
Se calculează primitivele generale: ∫4sin⁡22xdx=∫4csc⁡2(2x)dx=−2cot⁡(2x)+C\int \frac{4}{\sin^2 2x} dx = \int 4 \csc^2(2x) dx = -2 \cot(2x) + C.
33 puncte
Se aplică condiția: Fie F(x)=−2cot⁡(2x)+CF(x) = -2 \cot(2x) + C. F(π4)=−2cot⁡(π2)+C=0F(\frac{\pi}{4}) = -2 \cot(\frac{\pi}{2}) + C = 0. Deoarece cot⁡(π2)=0\cot(\frac{\pi}{2}) = 0, rezultă C=0C = 0. Deci primitiva căutată este F(x)=−2cot⁡(2x)F(x) = -2 \cot(2x).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.