MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeIntegrale definite
Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x+1) pe intervalul [0,e−1][0, e-1].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scriem formula volumului de rotație: V=π∫0e−1[ln⁡(x+1)]2 dxV = \pi \int_0^{e-1} [\ln(x+1)]^2 \, dx.
25 puncte
Determinăm primitiva funcției [ln⁡(x+1)]2[\ln(x+1)]^2 folosind integrarea prin părți. Notăm u=[ln⁡(x+1)]2u = [\ln(x+1)]^2, dv=dxdv = dx, deci du=2ln⁡(x+1)x+1dxdu = \frac{2 \ln(x+1)}{x+1} dx, v=xv = x. Obținem ∫[ln⁡(x+1)]2 dx=x[ln⁡(x+1)]2−2∫xln⁡(x+1)x+1 dx\int [\ln(x+1)]^2 \, dx = x [\ln(x+1)]^2 - 2 \int \frac{x \ln(x+1)}{x+1} \, dx. Pentru integrala rămasă, folosim substituția t=x+1t = x+1 sau integrare prin părți din nou, și obținem ∫[ln⁡(x+1)]2 dx=x[ln⁡(x+1)]2−2xln⁡(x+1)+2x+C\int [\ln(x+1)]^2 \, dx = x [\ln(x+1)]^2 - 2x \ln(x+1) + 2x + C.
33 puncte
Calculăm integrala definită: ∫0e−1[ln⁡(x+1)]2 dx=[x[ln⁡(x+1)]2−2xln⁡(x+1)+2x]0e−1=(e−1)[ln⁡(e)]2−2(e−1)ln⁡(e)+2(e−1)−0=e−1\int_0^{e-1} [\ln(x+1)]^2 \, dx = \left[ x [\ln(x+1)]^2 - 2x \ln(x+1) + 2x \right]_0^{e-1} = (e-1)[\ln(e)]^2 - 2(e-1)\ln(e) + 2(e-1) - 0 = e-1. Apoi volumul este V=π(e−1)V = \pi (e-1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.