MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveEcuații exponentialeTrigonometrie
Fie funcția f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Să se determine o primitivă a lui ff și să se demonstreze că ∫0πf(x) dx=e2π+15\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = \frac{e^{2\pi} + 1}{5}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Folosim integrarea prin părți pentru a găsi o primitivă. Fie I=∫e2xsin⁡x dxI = \int e^{2x} \sin x \, dx. Alegem u=e2xu = e^{2x}, dv=sin⁡x dxdv = \sin x \, dx, deci du=2e2x dxdu = 2e^{2x} \, dx, v=−cos⁡xv = -\cos x. Atunci I=−e2xcos⁡x+2∫e2xcos⁡x dxI = -e^{2x} \cos x + 2 \int e^{2x} \cos x \, dx. Pentru J=∫e2xcos⁡x dxJ = \int e^{2x} \cos x \, dx, integrăm din nou prin părți cu u=e2xu = e^{2x}, dv=cos⁡x dxdv = \cos x \, dx, deci du=2e2x dxdu = 2e^{2x} \, dx, v=sin⁡xv = \sin x. Obținem J=e2xsin⁡x−2∫e2xsin⁡x dx=e2xsin⁡x−2IJ = e^{2x} \sin x - 2 \int e^{2x} \sin x \, dx = e^{2x} \sin x - 2I. Substituind în expresia pentru II, avem I=−e2xcos⁡x+2(e2xsin⁡x−2I)⇒I=−e2xcos⁡x+2e2xsin⁡x−4I⇒5I=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)⇒I=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+CI = -e^{2x} \cos x + 2(e^{2x} \sin x - 2I) \Rightarrow I = -e^{2x} \cos x + 2e^{2x} \sin x - 4I \Rightarrow 5I = e^{2x}(2\sin x - \cos x) \Rightarrow I = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + C, unde CC este constantă reală.
25 puncte
Calculăm integrala definită ∫0πe2xsin⁡x dx\int_{0}^{\pi} e^{2x} \sin x \, dx folosind primitiva găsită: [e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5]0π=e2π(2sin⁡π−cos⁡π)5−e0(2sin⁡0−cos⁡0)5=e2π(0−(−1))5−1(0−1)5=e2π⋅15−−15=e2π5+15=e2π+15\left[ \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} \right]_{0}^{\pi} = \frac{e^{2\pi}(2\sin \pi - \cos \pi)}{5} - \frac{e^{0}(2\sin 0 - \cos 0)}{5} = \frac{e^{2\pi}(0 - (-1))}{5} - \frac{1(0 - 1)}{5} = \frac{e^{2\pi} \cdot 1}{5} - \frac{-1}{5} = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{1}{5} = \frac{e^{2\pi} + 1}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.