MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateTrigonometrie
Determinați o primitivă a funcției f(x)=e−xcos⁡(2x)f(x) = e^{-x} \cos(2x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că integrala ∫e−xcos⁡(2x)dx\int e^{-x} \cos(2x) dx necesită integrare prin părți. Se alege u=e−xu = e^{-x} și dv=cos⁡(2x)dxdv = \cos(2x) dx.
24 puncte
Aplicând integrarea prin părți, se obține ∫e−xcos⁡(2x)dx=e−xsin⁡(2x)2+12∫e−xsin⁡(2x)dx\int e^{-x} \cos(2x) dx = e^{-x} \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{1}{2} \int e^{-x} \sin(2x) dx. Apoi se integrează prin părți din nou pentru ∫e−xsin⁡(2x)dx\int e^{-x} \sin(2x) dx, alegând u=e−xu = e^{-x} și dv=sin⁡(2x)dxdv = \sin(2x) dx.
33 puncte
După calcule, se ajunge la ∫e−xcos⁡(2x)dx=e−x5(2sin⁡(2x)−cos⁡(2x))+C\int e^{-x} \cos(2x) dx = \frac{e^{-x}}{5} (2\sin(2x) - \cos(2x)) + C, unde CC este constanta de integrare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.