MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveȘiruri de numere reale
Fie funcția f:(−∞,0]→Rf:(-\infty, 0] \to \mathbb{R}, f(x)=12−xe−xf(x)=\frac{1}{2}\sqrt{-x}e^{\sqrt{-x}}. Determinați o primitivă FF a funcției ff pe intervalul (−∞,0](-\infty, 0], știind că lim⁡n→∞F(−1n2)=1\displaystyle \lim_{n \to \infty} F\left(-\frac{1}{n^2}\right) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm integrala nedefinită ∫f(x)dx\int f(x) dx prin substituția t=−xt=\sqrt{-x}; obținem x=−t2x=-t^2, dx=−2tdtdx=-2t dt; ∫12tet(−2t)dt=−∫t2etdt\int \frac{1}{2}t e^{t}(-2t) dt = -\int t^2 e^{t} dt. Prin părți de două ori: u=t2u=t^2, dv=etdtdv=e^t dt dă −t2et+2∫tetdt-t^2 e^t + 2\int t e^t dt; apoi pentru ∫tetdt\int t e^t dt cu u=tu=t, dv=etdtdv=e^t dt dă tet−et+Ct e^t - e^t + C. Astfel ∫f(x)dx=−t2et+2(tet−et)+C=et(−t2+2t−2)+C\int f(x) dx = -t^2 e^t + 2(t e^t - e^t) + C = e^t(-t^2+2t-2) + C. Înlocuind t=−xt=\sqrt{-x}, obținem mulțimea primitivelor: F(x)=e−x(−(−x)2+2−x−2)+C=e−x(−(−x)+2−x−2)+C=e−x(x+2−x−2)+CF(x)=e^{\sqrt{-x}}(-(\sqrt{-x})^2+2\sqrt{-x}-2) + C = e^{\sqrt{-x}}(-(-x)+2\sqrt{-x}-2) + C = e^{\sqrt{-x}}(x+2\sqrt{-x}-2) + C.
23 puncte
Determinăm constanta CC din condiția dată: lim⁡n→∞F(−1n2)=1\lim_{n \to \infty} F\left(-\frac{1}{n^2}\right) = 1. Calculăm F(−1n2)=e1/n2(−1n2+2⋅1n−2)+C=e1/n(−1n2+2n−2)+CF\left(-\frac{1}{n^2}\right) = e^{\sqrt{1/n^2}}\left(-\frac{1}{n^2} + 2\cdot\frac{1}{n} - 2\right) + C = e^{1/n}\left(-\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n}-2\right) + C. Pentru n→∞n \to \infty, e1/n→1e^{1/n} \to 1, iar −1n2+2n−2→−2-\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n}-2 \to -2. Deci limita este −2+C=1-2 + C = 1, de unde C=3C=3.
34 puncte
Primitivea căutată este F(x)=e−x(x+2−x−2)+3F(x)=e^{\sqrt{-x}}(x+2\sqrt{-x}-2) + 3. Verificăm domeniul: pentru x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], −x\sqrt{-x} este bine definit; FF este continuă și F′(x)=f(x)F'(x)=f(x). Punctele se acordă pentru prezentarea finală corectă și verificare (dacă este făcută).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.