MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateEcuații exponentiale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, derivabilă, care verifică f′(x)−f(x)=exf'(x) - f(x) = e^x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și f(0)=0f(0) = 0. a) Să se determine expresia funcției ff. b) Să se calculeze ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Ecuația f′(x)−f(x)=exf'(x) - f(x) = e^x este liniară. Se înmulțește cu factorul integrant e−xe^{-x}: e−xf′(x)−e−xf(x)=1e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = 1, adică (e−xf(x))′=1(e^{-x} f(x))' = 1. Integrând, e−xf(x)=x+Ce^{-x} f(x) = x + C. Din condiția f(0)=0f(0)=0, rezultă 0=0+C0 = 0 + C, deci C=0C=0. Așadar, f(x)=xexf(x) = x e^x.
23 puncte
Se calculează integrala ∫01f(x)dx=∫01xexdx\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 x e^x dx.
33 puncte
Se integrează prin părți: ∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex+C\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C. Atunci ∫01xexdx=[xex−ex]01=(1⋅e−e)−(0⋅1−1)=(e−e)−(0−1)=1\int_0^1 x e^x dx = [x e^x - e^x]_0^1 = (1 \cdot e - e) - (0 \cdot 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.