MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Să se calculeze volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h(x)=xe−xh(x) = \sqrt{x} e^{-x} pe intervalul [0,1][0,1].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Volumul se exprimă ca V=π∫01[h(x)]2dx=π∫01xe−2xdxV = \pi \int_{0}^{1} [h(x)]^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x e^{-2x} dx.
25 puncte
Se integrează prin părți: alegem u=xu = x, dv=e−2xdxdv = e^{-2x} dx, deci du=dxdu = dx, v=−12e−2xv = -\frac{1}{2} e^{-2x}. Atunci ∫xe−2xdx=−x2e−2x+12∫e−2xdx=−x2e−2x−14e−2x+C\int x e^{-2x} dx = -\frac{x}{2} e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx = -\frac{x}{2} e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} + C.
32 puncte
Se evaluează integrala definită: ∫01xe−2xdx=[−x2e−2x−14e−2x]01=(−12e−2−14e−2)−(0−14)=−34e−2+14\int_{0}^{1} x e^{-2x} dx = \left[ -\frac{x}{2} e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{2} e^{-2} - \frac{1}{4} e^{-2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) = -\frac{3}{4} e^{-2} + \frac{1}{4}. Prin urmare, V=π(−34e−2+14)V = \pi \left( -\frac{3}{4} e^{-2} + \frac{1}{4} \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.