MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați integrala definită ∫01xx2+4x+5 dx\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 4x + 5} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se completează pătratul la numitor: x2+4x+5=(x+2)2+1x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1. Se scrie integrala ca ∫01x(x+2)2+1 dx\int_{0}^{1} \frac{x}{(x+2)^2 + 1} \, dx.
24 puncte
Se găsește primitiva. Se face substituția u=x+2u = x+2, deci x=u−2x = u-2, dx=dudx = du. Integrala devine ∫u−2u2+1 du=∫uu2+1 du−2∫1u2+1 du=12ln⁡(u2+1)−2arctan⁡u+C\int \frac{u-2}{u^2 + 1} \, du = \int \frac{u}{u^2 + 1} \, du - 2 \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \frac{1}{2} \ln(u^2 + 1) - 2 \arctan u + C.
33 puncte
Se evaluează integrala definită: [12ln⁡((x+2)2+1)−2arctan⁡(x+2)]01=(12ln⁡(10)−2arctan⁡3)−(12ln⁡(5)−2arctan⁡2)=12ln⁡2−2(arctan⁡3−arctan⁡2)\left[ \frac{1}{2} \ln((x+2)^2 + 1) - 2 \arctan(x+2) \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} \ln(10) - 2 \arctan 3 \right) - \left( \frac{1}{2} \ln(5) - 2 \arctan 2 \right) = \frac{1}{2} \ln 2 - 2(\arctan 3 - \arctan 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.