MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveFuncția de gradul al II-lea
Să se determine primitivele funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+4x+5f(x) = \frac{2x+3}{x^2 + 4x + 5}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scrie numărătorul ca sumă dintre derivata numitorului și o constantă: 2x+3=(2x+4)−12x+3 = (2x+4) -1, deci f(x)=2x+4x2+4x+5−1x2+4x+5f(x) = \frac{2x+4}{x^2+4x+5} - \frac{1}{x^2+4x+5}.
23 puncte
Se calculează ∫2x+4x2+4x+5dx=ln⁡∣x2+4x+5∣+C1\int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx = \ln|x^2+4x+5| + C_1.
33 puncte
Pentru ∫1x2+4x+5dx\int \frac{1}{x^2+4x+5} dx, se completează pătratul: x2+4x+5=(x+2)2+1x^2+4x+5 = (x+2)^2+1, deci integrala devine ∫1(x+2)2+1dx=arctan⁡(x+2)+C2\int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx = \arctan(x+2) + C_2.
41 punct
Primitiva este F(x)=ln⁡∣x2+4x+5∣−arctan⁡(x+2)+CF(x) = \ln|x^2+4x+5| - \arctan(x+2) + C, unde CC este o constantă reală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.