MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateTrigonometrie
Fie F(x)F(x) o primitivă a funcției f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Dacă F(0)=1F(0) = 1, să se determine F(x)F(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm I=∫e2xsin⁡xdxI = \int e^{2x} \sin x dx și aplicăm metoda coeficienților nedeterminați, presupunând I=e2x(Asin⁡x+Bcos⁡x)+CI = e^{2x} (A \sin x + B \cos x) + C.
24 puncte
Derivăm II și egalăm cu e2xsin⁡xe^{2x} \sin x pentru a determina AA și BB: obținem A=25,B=−15A = \frac{2}{5}, B = -\frac{1}{5}.
32 puncte
Aplicăm condiția F(0)=1F(0)=1: F(0)=e0(A⋅0+B⋅1)+C=B+C=−15+C=1F(0) = e^{0} (A \cdot 0 + B \cdot 1) + C = B + C = -\frac{1}{5} + C = 1, deci C=65C = \frac{6}{5}, așadar F(x)=e2x(25sin⁡x−15cos⁡x)+65F(x) = e^{2x} \left( \frac{2}{5} \sin x - \frac{1}{5} \cos x \right) + \frac{6}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.