MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeTrigonometrie
Să se calculeze volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a suprafeței delimitate de graficul funcției f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x pe intervalul [0,π][0, \pi] și axa Ox.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Volumul este dat de formula V=π∫0π[f(x)]2dx=π∫0πsin⁡2xdxV = \pi \int_{0}^{\pi} [f(x)]^2 dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx.
24 puncte
Folosim identitatea sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}. Atunci o primitivă pentru sin⁡2x\sin^2 x este F(x)=12x−14sin⁡2xF(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x.
33 puncte
Calculăm integrala: ∫0πsin⁡2xdx=F(π)−F(0)=(π2−14sin⁡2π)−(0−14sin⁡0)=π2\int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = F(\pi) - F(0) = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin 2\pi \right) - \left( 0 - \frac{1}{4}\sin 0 \right) = \frac{\pi}{2}. Deci V=π⋅π2=π22V = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.