MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați funcția F:R→RF: \mathbb{R} \to \mathbb{R} astfel încât F′(x)=2x+3x2+4x+5F'(x) = \frac{2x+3}{x^2 + 4x + 5} și F(0)=1F(0) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
17 puncte
Se rescrie funcția: 2x+3x2+4x+5=2x+4x2+4x+5−1x2+4x+5\frac{2x+3}{x^2 + 4x + 5} = \frac{2x+4}{x^2 + 4x + 5} - \frac{1}{x^2 + 4x + 5}. Apoi, se calculează integralele: ∫2x+4x2+4x+5dx=ln⁡∣x2+4x+5∣+C1\int \frac{2x+4}{x^2 + 4x + 5} dx = \ln |x^2 + 4x + 5| + C_1 și ∫1x2+4x+5dx=∫1(x+2)2+1dx=arctan⁡(x+2)+C2\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} dx = \int \frac{1}{(x+2)^2 + 1} dx = \arctan(x+2) + C_2. Astfel, se obține primitiva generală: F(x)=ln⁡∣x2+4x+5∣−arctan⁡(x+2)+CF(x) = \ln |x^2 + 4x + 5| - \arctan(x+2) + C.
23 puncte
Se determină constanta CC din condiția F(0)=1F(0)=1: 1=ln⁡5−arctan⁡(2)+C1 = \ln 5 - \arctan(2) + C, deci C=1−ln⁡5+arctan⁡(2)C = 1 - \ln 5 + \arctan(2). Deci F(x)=ln⁡∣x2+4x+5∣−arctan⁡(x+2)+1−ln⁡5+arctan⁡(2)F(x) = \ln |x^2 + 4x + 5| - \arctan(x+2) + 1 - \ln 5 + \arctan(2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.