MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteTrigonometrie
Să se calculeze aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=πx=\pi.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aria se exprimă ca integrala definită A=∫0π∣e−xsin⁡x∣dxA = \int_0^{\pi} | e^{-x} \sin x | dx. Deoarece e−x>0e^{-x} > 0 și sin⁡x≥0\sin x \geq 0 pe [0,π][0,\pi], avem A=∫0πe−xsin⁡xdxA = \int_0^{\pi} e^{-x} \sin x dx.;
24 puncte
Pentru a calcula integrala, folosim metoda integrării prin părți. Fie I=∫e−xsin⁡xdxI = \int e^{-x} \sin x dx. Alegem u=sin⁡xu = \sin x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx, deci du=cos⁡xdxdu = \cos x dx, v=−e−xv = -e^{-x}. Atunci I=−e−xsin⁡x+∫e−xcos⁡xdxI = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x dx. Aplicăm din nou integrarea prin părți pentru ∫e−xcos⁡xdx\int e^{-x} \cos x dx, alegând u=cos⁡xu = \cos x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx, deci du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx, v=−e−xv = -e^{-x}. Obținem ∫e−xcos⁡xdx=−e−xcos⁡x−∫e−xsin⁡xdx=−e−xcos⁡x−I\int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \cos x - I.;
33 puncte
Înlocuind, avem I=−e−xsin⁡x+(−e−xcos⁡x−I)I = -e^{-x} \sin x + (-e^{-x} \cos x - I), deci 2I=−e−x(sin⁡x+cos⁡x)2I = -e^{-x} (\sin x + \cos x), iar I=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+CI = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C.;
41 punct
Evaluăm integrala definită: A=[−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)]0π=−12e−π(sin⁡π+cos⁡π)+12e0(sin⁡0+cos⁡0)=−12e−π(0−1)+12(0+1)=12e−π+12=12(1+e−π)A = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) \right]_0^{\pi} = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi) + \frac{1}{2} e^{0} (\sin 0 + \cos 0) = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (0 - 1) + \frac{1}{2} (0 + 1) = \frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (1 + e^{-\pi}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.