MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volume
Calculați aria suprafeței plane mărginită de graficul funcției f(x)=xe−xf(x) = x e^{-x}, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=4x=4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Aria este dată de integrala definită A=∫04xe−xdxA = \int_0^4 x e^{-x} dx.
25 puncte
Se calculează primitiva funcției xe−xx e^{-x} folosind integrarea prin părți. Fie u=xu=x și dv=e−xdxdv=e^{-x}dx, atunci du=dxdu=dx și v=−e−xv=-e^{-x}. Astfel, ∫xe−xdx=−xe−x−∫−e−xdx=−xe−x+∫e−xdx=−xe−x−e−x+C=−e−x(x+1)+C\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}(x+1) + C.
33 puncte
Se evaluează integrala definită: A=[−e−x(x+1)]04=(−e−4(4+1))−(−e0(0+1))=−5e−4+1=1−5e4A = \left[ -e^{-x}(x+1) \right]_0^4 = (-e^{-4}(4+1)) - (-e^{0}(0+1)) = -5e^{-4} + 1 = 1 - \frac{5}{e^4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.