MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrie
Să se determine o primitivă a funcției f:(0,π2)→Rf: (0, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R}, f(x)=sin⁡xsin⁡x+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rescrierea integralei sub forma: ∫f(x)dx=12∫2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=12∫(sin⁡x+cos⁡x)+(sin⁡x−cos⁡x)sin⁡x+cos⁡xdx=12∫1dx+12∫sin⁡x−cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int f(x) dx = \frac{1}{2} \int \frac{2\sin x}{\sin x + \cos x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x + \cos x) + (\sin x - \cos x)}{\sin x + \cos x} dx = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx.
24 puncte
Calculul primei integrale: 12∫1dx=x2\frac{1}{2} \int 1 dx = \frac{x}{2}. Pentru a doua integrală, se observă că numărătorul sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x este derivata numitorului cu semn schimbat: (sin⁡x+cos⁡x)′=cos⁡x−sin⁡x=−(sin⁡x−cos⁡x)(\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x = -(\sin x - \cos x).
33 puncte
Folosind observația, ∫sin⁡x−cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=−∫(sin⁡x+cos⁡x)′sin⁡x+cos⁡xdx=−ln⁡∣sin⁡x+cos⁡x∣\int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx = -\int \frac{(\sin x + \cos x)'}{\sin x + \cos x} dx = -\ln|\sin x + \cos x|. Astfel, o primitivă este F(x)=x2−12ln⁡(sin⁡x+cos⁡x)+CF(x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln(\sin x + \cos x) + C (pe (0,π2)(0,\frac{\pi}{2}), sin⁡x+cos⁡x>0\sin x+\cos x>0, deci se omit modulele).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.