MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Să se determine o primitivă a funcției f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x−1f(x) = \frac{2x+1}{x-1}, și apoi să se calculeze aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției g(x)=F(x)−xg(x) = F(x) - x, unde FF este o primitivă a lui ff, axa OxOx și dreptele x=2x=2 și x=3x=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se observă că f(x)=2x+1x−1=2+3x−1f(x) = \frac{2x+1}{x-1} = 2 + \frac{3}{x-1}. O primitivă a lui ff este F(x)=2x+3ln⁡∣x−1∣+CF(x) = 2x + 3 \ln|x-1| + C, cu C∈RC \in \mathbb{R}.
23 puncte
Funcția g(x)=F(x)−x=x+3ln⁡∣x−1∣+Cg(x) = F(x) - x = x + 3 \ln|x-1| + C. Pentru calculul ariei, se ia C=0C=0 (constantă neinfluențând aria). Aria este ∫23∣g(x)∣ dx\int_{2}^{3} |g(x)| \, dx; pe [2,3][2,3], g(x)>0g(x) > 0, deci se calculează ∫23(x+3ln⁡(x−1)) dx\int_{2}^{3} (x + 3 \ln(x-1)) \, dx.
33 puncte
∫23x dx=[x22]23=52\int_{2}^{3} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} = \frac{5}{2}. ∫233ln⁡(x−1) dx=3[(x−1)ln⁡(x−1)−(x−1)]23=3(2ln⁡2−1)\int_{2}^{3} 3 \ln(x-1) \, dx = 3 \left[ (x-1)\ln(x-1) - (x-1) \right]_{2}^{3} = 3(2\ln2 - 1). Aria totală este 52+3(2ln⁡2−1)=6ln⁡2−12\frac{5}{2} + 3(2\ln2 - 1) = 6\ln2 - \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.