MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveFuncția de gradul al II-lea
Determinați o primitivă a funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+4x+5f(x) = \frac{2x+3}{x^2 + 4x + 5} și verificați rezultatul prin derivare.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie numărătorul ca derivată a numitorului: 2x+3=(x2+4x+5)′−12x+3 = (x^2 + 4x + 5)' - 1, deci f(x)=(x2+4x+5)′x2+4x+5−1x2+4x+5f(x) = \frac{(x^2 + 4x + 5)'}{x^2 + 4x + 5} - \frac{1}{x^2 + 4x + 5}.
24 puncte
Se calculează primitivele: ∫(x2+4x+5)′x2+4x+5dx=ln⁡∣x2+4x+5∣+C1\int \frac{(x^2 + 4x + 5)'}{x^2 + 4x + 5} dx = \ln|x^2 + 4x + 5| + C_1 și ∫1x2+4x+5dx=∫1(x+2)2+1dx=arctan⁡(x+2)+C2\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} dx = \int \frac{1}{(x+2)^2 + 1} dx = \arctan(x+2) + C_2. Deci o primitivă este F(x)=ln⁡(x2+4x+5)−arctan⁡(x+2)+CF(x) = \ln(x^2 + 4x + 5) - \arctan(x+2) + C, cu C∈RC \in \mathbb{R}.
33 puncte
Se derivează F(x)F(x): F′(x)=2x+4x2+4x+5−11+(x+2)2=2x+4x2+4x+5−1x2+4x+5=2x+3x2+4x+5=f(x)F'(x) = \frac{2x+4}{x^2 + 4x + 5} - \frac{1}{1+(x+2)^2} = \frac{2x+4}{x^2 + 4x + 5} - \frac{1}{x^2 + 4x + 5} = \frac{2x+3}{x^2 + 4x + 5} = f(x), confirmând rezultatul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.