MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteAplicații ale derivatelor
Se dă funcția ff cu f′(x)=e−x+2xf'(x) = e^{-x} + 2x și f(0)=1f(0) = 1. Calculați ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx și determinați punctele de extrem local ale funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsim f(x)f(x) prin integrare: f(x)=∫(e−x+2x) dx=−e−x+x2+Cf(x) = \int (e^{-x} + 2x) \, dx = -e^{-x} + x^2 + C.
22 puncte
Din f(0)=1f(0)=1 avem 1=−e0+0+C=−1+C⇒C=21 = -e^{0} + 0 + C = -1 + C \Rightarrow C = 2, deci f(x)=−e−x+x2+2f(x) = -e^{-x} + x^2 + 2.
33 puncte
Calculăm ∫02f(x) dx=∫02(−e−x+x2+2) dx=[e−x+x33+2x]02=(e−2+83+4)−(e0+0+0)=e−2+83+4−1=e−2+83+3\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} (-e^{-x} + x^2 + 2) \, dx = \left[ e^{-x} + \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{0}^{2} = (e^{-2} + \frac{8}{3} + 4) - (e^{0} + 0 + 0) = e^{-2} + \frac{8}{3} + 4 - 1 = e^{-2} + \frac{8}{3} + 3.
42 puncte
Pentru extreme, rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0: e−x+2x=0e^{-x} + 2x = 0. Observăm că f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} (de exemplu, f′(0)=1>0f'(0)=1>0, f′(−1)=e−2>0f'(-1)=e-2>0), deci ff este strict crescătoare și nu are puncte de extrem local.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.