MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Determinați o primitivă a funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1x2+4f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 4} și calculați aria mărginită de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem funcția sub forma f(x)=1−3x2+4f(x) = 1 - \frac{3}{x^2 + 4} și găsim o primitivă F(x)=x−32arctan⁡(x2)+CF(x) = x - \frac{3}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C.
23 puncte
Calculăm integrala definită ∫02f(x) dx=F(2)−F(0)=(2−32arctan⁡(1))−(0−32arctan⁡(0))=2−3π8\int_0^2 f(x) \, dx = F(2) - F(0) = \left(2 - \frac{3}{2} \arctan(1)\right) - \left(0 - \frac{3}{2} \arctan(0)\right) = 2 - \frac{3\pi}{8}.
33 puncte
Aria cerută este ∣∫02f(x) dx∣=2−3π8\left| \int_0^2 f(x) \, dx \right| = 2 - \frac{3\pi}{8}, deoarece f(x)>0f(x) > 0 pe [0,2][0,2].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.