MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateMonotonie și convexitate
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx2f(x) = \frac{\ln x}{x^2}. a) Să se determine mulțimea primitivelor lui ff. b) Fie F:(0,∞)→RF: (0, \infty) \to \mathbb{R}, F(x)=∫1xf(t)dtF(x) = \int_1^x f(t) dt. Să se studieze monotonia funcției FF.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Funcția ff este continuă pe (0,∞)(0, \infty) (ca produs de funcții continue), deci admite primitive pe acest interval.
24 puncte
Folosind integrarea prin părți cu u=ln⁡xu = \ln x și dv=1x2dxdv = \frac{1}{x^2} dx, avem du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=−1xv = -\frac{1}{x}. Atunci, ∫ln⁡xx2dx=−ln⁡xx−∫(−1x)⋅1xdx=−ln⁡xx+∫1x2dx=−ln⁡xx−1x+C\int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \int (-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C. Mulțimea primitivelor este {G(x)=−ln⁡xx−1x+C∣C∈R}\{ G(x) = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C \mid C \in \mathbb{R} \}.
33 puncte
Derivata lui FF este F′(x)=f(x)=ln⁡xx2F'(x) = f(x) = \frac{\ln x}{x^2}. Semnul lui f(x)f(x): pentru x>1x > 1, ln⁡x>0\ln x > 0, deci f(x)>0f(x) > 0; pentru x=1x = 1, ln⁡x=0\ln x = 0, deci f(x)=0f(x) = 0; pentru 0<x<10 < x < 1, ln⁡x<0\ln x < 0, deci f(x)<0f(x) < 0. Astfel, FF este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.