MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Să se determine mulțimea primitivelor funcției f(x)=x3+2x2−5x+1x2+1f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x + 1}{x^2 + 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Efectuăm împărțirea polinoamelor: x3+2x2−5x+1x^3 + 2x^2 - 5x + 1 la x2+1x^2 + 1. Obținem câtul x+2x + 2 și restul −6x−1-6x - 1, deci f(x)=x+2+−6x−1x2+1f(x) = x + 2 + \frac{-6x - 1}{x^2 + 1}.
22 puncte
Rescriem f(x)=x+2−6xx2+1−1x2+1f(x) = x + 2 - \frac{6x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1}.
33 puncte
Integrăm termen cu termen: ∫(x+2) dx=x22+2x+C1\int (x + 2) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C_1, ∫6xx2+1 dx=3ln⁡(x2+1)+C2\int \frac{6x}{x^2 + 1} \, dx = 3 \ln(x^2 + 1) + C_2 (prin substituția u=x2+1u = x^2 + 1), ∫1x2+1 dx=arctan⁡x+C3\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan x + C_3.
42 puncte
Combinăm rezultatele: F(x)=x22+2x−3ln⁡(x2+1)−arctan⁡x+CF(x) = \frac{x^2}{2} + 2x - 3 \ln(x^2 + 1) - \arctan x + C, unde C∈RC \in \mathbb{R} este constanta de integrare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.