MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x2+1f(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}. Determinați primitiva FF a funcției ff care verifică F(0)=1F(0)=1. Apoi calculați integrala definită ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Se determină primitiva generală a funcției ff. Se observă că f(x)=2xx2+1+1x2+1f(x) = \frac{2x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}. Astfel, o primitivă este F(x)=ln⁡(x2+1)+arctan⁡x+CF(x) = \ln(x^2+1) + \arctan x + C, unde CC este constantă reală. Din condiția F(0)=1F(0)=1, se obține ln⁡(1)+arctan⁡0+C=1\ln(1) + \arctan 0 + C = 1, deci C=1C=1. Prin urmare, F(x)=ln⁡(x2+1)+arctan⁡x+1F(x) = \ln(x^2+1) + \arctan x + 1.
24 puncte
Integrala definită ∫01f(x) dx=F(1)−F(0)\int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0). Se calculează F(1)=ln⁡(2)+arctan⁡1+1=ln⁡2+π4+1F(1) = \ln(2) + \arctan 1 + 1 = \ln 2 + \frac{\pi}{4} + 1 și F(0)=1F(0)=1. Astfel, ∫01f(x) dx=ln⁡2+π4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \ln 2 + \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.