MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Determinați o primitivă FF a lui ff. Studiați monotonia și convexitatea funcției FF pe intervalul [0,π][0, \pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a găsi o primitivă a funcției f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x, se aplică integrarea prin părți de două ori. Se obține F(x)=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+CF(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C, unde CC este constantă reală. Pentru simplitate, se poate alege C=0C=0, deci F(x)=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)F(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x).
23 puncte
Monotonia: derivata lui FF este F′(x)=f(x)=e−xsin⁡xF'(x) = f(x) = e^{-x} \sin x. Pe intervalul [0,π][0, \pi], sin⁡x≥0\sin x \geq 0 pentru x∈[0,π]x \in [0, \pi], iar e−x>0e^{-x} > 0. Astfel, F′(x)≥0F'(x) \geq 0 pentru x∈[0,π]x \in [0, \pi], cu egalitate doar în x=0x=0 și x=πx=\pi. Prin urmare, FF este crescătoare pe [0,π][0, \pi].
33 puncte
Convexitatea: se calculează derivata a doua: F′′(x)=f′(x)=e−x(cos⁡x−sin⁡x)F''(x) = f'(x) = e^{-x} (\cos x - \sin x). Semnul lui F′′(x)F''(x) depinde de cos⁡x−sin⁡x\cos x - \sin x. Pe [0,π][0, \pi], cos⁡x−sin⁡x≥0\cos x - \sin x \geq 0 pentru x∈[0,π4]x \in [0, \frac{\pi}{4}] și cos⁡x−sin⁡x≤0\cos x - \sin x \leq 0 pentru x∈[π4,π]x \in [\frac{\pi}{4}, \pi]. Astfel, FF este convexă pe [0,π4][0, \frac{\pi}{4}] și concavă pe [π4,π][\frac{\pi}{4}, \pi].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.