MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitivePolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine primitiva funcției f(x)=x3+2xx2+1f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1} care verifică F(0)=2F(0)=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se efectuează împărțirea polinoamelor: x3+2x=x(x2+1)+xx^3 + 2x = x(x^2+1) + x, deci f(x)=x+xx2+1f(x) = x + \frac{x}{x^2+1}.
23 puncte
Se integrează: ∫f(x) dx=∫x dx+∫xx2+1 dx=x22+12ln⁡(x2+1)+C\int f(x) \, dx = \int x \, dx + \int \frac{x}{x^2+1} \, dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C.
33 puncte
Din condiția F(0)=2F(0)=2, avem 02+12ln⁡(1)+C=2\frac{0}{2} + \frac{1}{2} \ln(1) + C = 2, deci C=2C=2. Astfel, F(x)=x22+12ln⁡(x2+1)+2F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.