MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveFuncția de gradul al II-leaIntegrale definite
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x2+2x+2f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2x+2}. a) Determinați o primitivă FF a lui ff care să verifice F(0)=1F(0) = 1. b) Calculați ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se scrie primitiva generală a lui ff. Observăm că numitorul este x2+2x+2=(x+1)2+1x^2+2x+2 = (x+1)^2+1. Derivata numărătorului este 22, iar numitorul are derivata 2x+22x+2. Se poate rescrie f(x)=2x+2−1x2+2x+2=2x+2x2+2x+2−1(x+1)2+1f(x) = \frac{2x+2 -1}{x^2+2x+2} = \frac{2x+2}{x^2+2x+2} - \frac{1}{(x+1)^2+1}. Astfel, ∫f(x) dx=ln⁡(x2+2x+2)−arctan⁡(x+1)+C\int f(x) \, dx = \ln(x^2+2x+2) - \arctan(x+1) + C.
22 puncte
Se aplică condiția F(0)=1F(0)=1: F(0)=ln⁡(2)−arctan⁡(1)+C=ln⁡2−π4+C=1F(0) = \ln(2) - \arctan(1) + C = \ln 2 - \frac{\pi}{4} + C = 1, deci C=1−ln⁡2+π4C = 1 - \ln 2 + \frac{\pi}{4}. Primitiva cerută este F(x)=ln⁡(x2+2x+2)−arctan⁡(x+1)+1−ln⁡2+π4F(x) = \ln(x^2+2x+2) - \arctan(x+1) + 1 - \ln 2 + \frac{\pi}{4}.
34 puncte
Pentru integrala definită, folosim primitiva găsită: ∫01f(x) dx=F(1)−F(0)\int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0). Calculăm F(1)=ln⁡(12+2⋅1+2)−arctan⁡(1+1)+1−ln⁡2+π4=ln⁡5−arctan⁡2+1−ln⁡2+π4F(1) = \ln(1^2+2\cdot1+2) - \arctan(1+1) + 1 - \ln 2 + \frac{\pi}{4} = \ln 5 - \arctan 2 + 1 - \ln 2 + \frac{\pi}{4}. Dar F(0)=1F(0)=1 din condiție, deci ∫01f(x) dx=ln⁡5−arctan⁡2+1−ln⁡2+π4−1=ln⁡(52)−arctan⁡2+π4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \ln 5 - \arctan 2 + 1 - \ln 2 + \frac{\pi}{4} - 1 = \ln\left(\frac{5}{2}\right) - \arctan 2 + \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.