MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Fie funcția f(x)=3x2−4x+2x3−2x2+x−2f(x) = \frac{3x^2 - 4x + 2}{x^3 - 2x^2 + x - 2}. Să se determine o primitivă FF a lui ff astfel încât F(1)=ln⁡2F(1) = \ln 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem integrala nedefinită: ∫f(x) dx=∫3x2−4x+2x3−2x2+x−2 dx\int f(x) \, dx = \int \frac{3x^2 - 4x + 2}{x^3 - 2x^2 + x - 2} \, dx.\n
24 puncte
Descompunem numitorul și aplicăm fracții simple. Observăm că x3−2x2+x−2=(x−2)(x2+1)x^3 - 2x^2 + x - 2 = (x-2)(x^2+1), deci căutăm AA, BB, CC astfel încât 3x2−4x+2(x−2)(x2+1)=Ax−2+Bx+Cx2+1\frac{3x^2 - 4x + 2}{(x-2)(x^2+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx + C}{x^2+1}. Rezolvând, obținem A=2A=2, B=1B=1, C=0C=0.\n
33 puncte
Integrăm: ∫2x−2 dx+∫xx2+1 dx=2ln⁡∣x−2∣+12ln⁡(x2+1)+C\int \frac{2}{x-2} \, dx + \int \frac{x}{x^2+1} \, dx = 2\ln|x-2| + \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C.\n
41 punct
Aplicăm condiția F(1)=ln⁡2F(1) = \ln 2: 2ln⁡∣1−2∣+12ln⁡(12+1)+C=ln⁡2⇒2ln⁡1+12ln⁡2+C=ln⁡2⇒C=12ln⁡22\ln|1-2| + \frac{1}{2} \ln(1^2+1) + C = \ln 2 \Rightarrow 2\ln 1 + \frac{1}{2} \ln 2 + C = \ln 2 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \ln 2. Deci F(x)=2ln⁡∣x−2∣+12ln⁡(x2+1)+12ln⁡2F(x) = 2\ln|x-2| + \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + \frac{1}{2} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.