MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Calculați primitiva funcției f(x)=2x3−3x2+4x2−1f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 + 4}{x^2 - 1} și determinați constanta de integrare astfel încât F(2)=5F(2) = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Efectuați împărțirea polinoamelor pentru a obține f(x)=2x−3+2x+1x2−1f(x) = 2x - 3 + \frac{2x+1}{x^2-1}.
24 puncte
Descompuneți 2x+1x2−1\frac{2x+1}{x^2-1} în fracții simple: 2x+1x2−1=Ax−1+Bx+1\frac{2x+1}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}, găsiți A=32A = \frac{3}{2} și B=12B = \frac{1}{2}. Apoi calculați primitivele: ∫(2x−3)dx=x2−3x+C1\int (2x - 3) dx = x^2 - 3x + C_1 și ∫(3/2x−1+1/2x+1)dx=32ln⁡∣x−1∣+12ln⁡∣x+1∣+C2\int \left( \frac{3/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1} \right) dx = \frac{3}{2} \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln|x+1| + C_2. Deci F(x)=x2−3x+32ln⁡∣x−1∣+12ln⁡∣x+1∣+CF(x) = x^2 - 3x + \frac{3}{2} \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln|x+1| + C.
33 puncte
Folosiți condiția F(2)=5F(2)=5: 5=4−6+32ln⁡1+12ln⁡3+C5 = 4 - 6 + \frac{3}{2} \ln 1 + \frac{1}{2} \ln 3 + C. Deoarece ln⁡1=0\ln 1 = 0, obținem 5=−2+12ln⁡3+C5 = -2 + \frac{1}{2} \ln 3 + C, deci C=7−12ln⁡3C = 7 - \frac{1}{2} \ln 3. Astfel, primitiva este F(x)=x2−3x+32ln⁡∣x−1∣+12ln⁡∣x+1∣+7−12ln⁡3F(x) = x^2 - 3x + \frac{3}{2} \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln|x+1| + 7 - \frac{1}{2} \ln 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.