MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3. Să se calculeze aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției ff, tangenta la grafic în punctul de abscisă x=2x=2, și axa OyOy.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se determină derivata funcției: f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4. Tangenta în x=2x=2 are panta f′(2)=0f'(2) = 0 și trece prin punctul (2,f(2))=(2,−1)(2, f(2)) = (2, -1). Ecuația tangentei este y=−1y = -1.
23 puncte
Se identifică domeniul de integrare. Graficul funcției ff intersectează axa OyOy în x=0x=0, y=3y=3. Tangenta y=−1y=-1 intersectează axa OyOy în y=−1y=-1. Aria este mărginită între x=0x=0 și x=2x=2, unde f(x)f(x) și tangenta y=−1y=-1 delimitează regiunea.
34 puncte
Aria se calculează ca integrala definită: A=∫02(f(x)−(−1))dx=∫02(x2−4x+3+1)dx=∫02(x2−4x+4)dx=∫02(x−2)2dxA = \int_0^2 (f(x) - (-1)) dx = \int_0^2 (x^2 - 4x + 3 + 1) dx = \int_0^2 (x^2 - 4x + 4) dx = \int_0^2 (x-2)^2 dx. Se găsește o primitivă: F(x)=(x−2)33F(x) = \frac{(x-2)^3}{3}. Atunci A=F(2)−F(0)=(0)33−(−2)33=0−(−83)=83A = F(2) - F(0) = \frac{(0)^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = 0 - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}.
41 punct
Se concluzionează că aria este 83\frac{8}{3} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.