MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateStudiul funcțiilor
Să se determine primitiva funcției f(x)=2x+3x2+4x+5f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 5} care are valoarea 1 în punctul x=0x=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se completează pătratul la numitor: x2+4x+5=(x+2)2+1x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1. Se face substituția u=x+2u = x+2, deci du=dxdu = dx și 2x+3=2(u−2)+3=2u−12x+3 = 2(u-2)+3 = 2u -1.
24 puncte
Integrala devine ∫2u−1u2+1du=∫2uu2+1du−∫1u2+1du=ln⁡(u2+1)−arctan⁡(u)+C=ln⁡((x+2)2+1)−arctan⁡(x+2)+C\int \frac{2u-1}{u^2+1} du = \int \frac{2u}{u^2+1} du - \int \frac{1}{u^2+1} du = \ln(u^2+1) - \arctan(u) + C = \ln((x+2)^2+1) - \arctan(x+2) + C.
32 puncte
Se impune condiția F(0)=1F(0)=1: ln⁡((0+2)2+1)−arctan⁡(0+2)+C=1⇒ln⁡(5)−arctan⁡(2)+C=1\ln((0+2)^2+1) - \arctan(0+2) + C = 1 \Rightarrow \ln(5) - \arctan(2) + C = 1, deci C=1−ln⁡(5)+arctan⁡(2)C = 1 - \ln(5) + \arctan(2). Primitiva este F(x)=ln⁡((x+2)2+1)−arctan⁡(x+2)+1−ln⁡(5)+arctan⁡(2)F(x) = \ln((x+2)^2+1) - \arctan(x+2) + 1 - \ln(5) + \arctan(2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.