MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateMonotonie și convexitate
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=sin⁡x⋅cos⁡2xf(x) = \sin x \cdot \cos^2 x. a) Să se determine o primitivă FF a lui ff care verifică F(0)=1F(0) = 1. b) Să se studieze monotonia funcției FF pe intervalul [0,π][0, \pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Găsirea primitivei generale: ∫sin⁡xcos⁡2xdx\int \sin x \cos^2 x dx. Se face substituția u=cos⁡xu = \cos x, du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx, deci ∫sin⁡xcos⁡2xdx=−∫u2du=−u33+C=−cos⁡3x3+C\int \sin x \cos^2 x dx = -\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3 x}{3} + C. Atunci F(x)=−cos⁡3x3+CF(x) = -\frac{\cos^3 x}{3} + C. Din F(0)=1F(0)=1, avem −cos⁡303+C=1⇒−13+C=1⇒C=43-\frac{\cos^3 0}{3} + C = 1 \Rightarrow -\frac{1}{3} + C = 1 \Rightarrow C = \frac{4}{3}, deci F(x)=−cos⁡3x3+43F(x) = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{4}{3}.
25 puncte
Studiul monotoniei: F′(x)=f(x)=sin⁡xcos⁡2xF'(x) = f(x) = \sin x \cos^2 x. Pe [0,π][0, \pi], sin⁡x≥0\sin x \geq 0 pentru x∈[0,π]x \in [0, \pi] și cos⁡2x≥0\cos^2 x \geq 0, deci F′(x)≥0F'(x) \geq 0, egal cu zero doar pentru x=0x=0 sau x=πx=\pi unde sin⁡x=0\sin x=0. Astfel, FF este crescătoare pe [0,π][0, \pi].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.