MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=xexf(x) = x e^{x}. Să se determine primitiva FF a lui ff care verifică F(0)=1F(0) = 1 și apoi să se calculeze aria suprafeței plane mărginită de graficul lui ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează primitiva folosind integrarea prin părți: ∫xexdx=ex(x−1)+C\int x e^{x} dx = e^{x}(x-1) + C.
23 puncte
Se impune condiția F(0)=1F(0)=1: F(0)=e0(0−1)+C=−1+C=1⇒C=2F(0) = e^{0}(0-1) + C = -1 + C = 1 \Rightarrow C=2, deci F(x)=ex(x−1)+2F(x) = e^{x}(x-1) + 2.
33 puncte
Aria este ∫02xexdx=F(2)−F(0)=(e2(2−1)+2)−1=e2+2−1=e2+1\int_0^2 x e^{x} dx = F(2) - F(0) = (e^{2}(2-1) + 2) - 1 = e^{2} + 2 - 1 = e^{2} + 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.